Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
19 octobre 2010 2 19 /10 /octobre /2010 15:25
Les fractales sont orphelines...
  
Mais qu'est ce qu'une "fractale" ou "objet fractale"? 
 
forum 138432 1Un exemple simple est la fractale de Koch (image de droite).
On part d'un triangle équilatérale, on remplace le milieu de chaque coté par un nouveau triangle équilatérale et on répète cette opération à l'infini.
 
Qu'elle est alors la surface de ce "flocon de neige"?
 
Et bien tout dépend du pas de mesure que vous utilisez, lorsque le pas de mesure tend vers l'infini sa surface tend vers : (2√3)/5 .L²
 
 
 L : la longueur du coté du triangle.
 
 
 
 
 
C'est un peu comme pour mesurer la longueur de la cote de Bretagne. Prenons un géant et un nain et faisons leur parcourir la cote de Bretagne en comptons leur nombre de pas. Le nain aura parcouru une surface plus grande. Explication en image :
 
bretagne1
bretagne2.jpg
bretagne3.jpg
 
 
Si je dois mesurer une longueur de 1 m avec une règle de 20 cm (en vert), je ne pourrai pas suivre exactement le contour de la ligne et je vais sous-estimer sa longueur en comptant le nombre entier de fois que je peux appliquer la règle sur la ligne. Avec une règle de 10 cm le résultat sera moins mauvais (en jaune). Plus j'utiliserai une règle courte, mieux je pourrai suivre le contour de la courbe, et plus le résultat sera précis (bleu puis rouge). En termes plus mathématiques le résultat converge vers la longueur exacte de la ligne lorsque la règle atteint une dimension négligeable par rapport à la courbure de la ligne.
ligne.gif
 
On peut encore dire, pour une règle suffisamment (infiniment) petite, que si je divise par n sa longueur, je multiplie par n le nombre de fois où je l'utilise pour mesurer la ligne. Ceci donne un rapport de n/n1 c'est la dimension des figures linéaires (dimension euclidienne ou topologique... oui je sais que ces deux termes ne sont pas exactement équivalent, mais c'est sans importance ici).
Avec la fractale de Koch c'est plus compliqué, supposons L la longueur du premier triangle équilatérale, si je mesure la longueur de cette objet avec une règle de longueur L j'obtiens 3L. Si je divise par 3 la longueur de ma règle je pourrai parcourir plus en détail le flocon (12 fois) on obtient un longueur fois plus grande 12*(L/3). Et je peux répéter ce raisonnement à l'infini :  Autrement dit chaque fois que je divise la règle par 3 je multiplie par 4 le nombre de fois où je l'applique pour en faire le tour du flocon. Le flocon de Koch est un objet de dimension 1,26 (ou dimension fractale).
 
L'autre propriété des fractales c'est l'auto-similarité ou homothétie interne ou encore invariance d'échelle.Cette propriété s'explique par le fait que toute image fractale est engendrée par un processus d'itération théoriquement infini. Dans le cas de la courbe de von Koch les choses sont très simples puisque les détails sont rigoureusement identiques quelle que soit l'échelle.
 Dans de nombreuses fractales obtenues à partir de fonctions mathématiques, les détails sont simplement similaires sans être strictement identiques. Il en est de même pour les structures fractales observées dans les objets naturels, qui conserve cependant un caractère fractale : les différents golfes et les criques de la côte de Bretagne, les ramifications des branches ou des racines d'un arbre, la distribution des parasites sur les lignes de transmission de signaux, les cours boursiers, le régime des crues de certains fleuves, le relief terrestre, la distribution des galaxies, la structure des poumons...
 
C'est bien jolie mais à quoi ça sert? 
 
 anakinobiwan42vc.jpg
Si l'ont peu modéliser beaucoup de choses grâce aux fractale, il est vrai qu'il y a peu d'application direct pour l'instant. Le domaine où les fractales sont les plus exploitées est celui de l'art graphique : des paysages fractales de synthèse ont été utilisés par exemple dans le film de science fiction Star Wars ou pour crée la lave de la planète Mustafar lors du combat final entre Obi-Wann Kenobi et le jeune Darth Vader.
 
 
  
cell antennaUn autre domaine d'application est la fabrication d'antennesradio fractales. Leur intérêt estd'occuper une faible place (dans tous les téléphone portable) tout en ayant un très bon rendement dans le domaine multi-bandes ou large bande d'émission.
Maintenant que vous savez tous sur les fractales vous reconnaîtrez forcement le caractère fractale de cette plaque de cuivre qui sert d'antenne dans ce téléphone portable : un carré avec un trou carré au centre entouré d'autres carrés avec des trous au centre, entourés d'autres carrés avec des trous au centre...
 
 
 
 
 
Juste pour la plaisir une petite vidéo d'image fractale :
  
 
 
Merci Professeur Mandelbrot pour les antennes de portables, les effets spéciaux de Starwars, mais surtout pour avoir étudié et vulgarisé avec autant de passion ces bizarreries mathématiques que beaucoup considéraient trop vite comme inutile ou anecdotique.
 
 

Partager cet article

Repost 0
Published by doc-fab - dans Sciences
commenter cet article

commentaires